L'arbre mut

L’arbret

Posted on 28 febrer, 201917 abril, 2021 by JOSE PASQUAL SEGURA

Oyfn veg shteyt a boym.

Oyfn veg shteyt a boym, Shteyt er ayngeboygn, Ale feygl funem boym Zaynen zikh tsefloygn.

Dray keyn mayrev, dray keyn mizrekh, Un der resht – keyn dorem, Un dem boym gelozt aleyn Hefker far dem shturem.

Zog ikh tsu der mamen: -her, Zolst mir nor nit shtern, Vel ikh, mame, eyns un tsvey Bald a foygl vern…

Ikh vel zitsn oyfn boym Un vel im farvign Ibern vinter mit a treyst Mit a sheynem nign.

Zogt di mame: – nite, kind – Un zi veynt mit trern – Vest kholile oyfn boym Mir far froyrn vern.

Zog ikh: -mame, s’iz a shod Dayne sheyne oygn Un eyder vos un eyder ven, Bin ikh mir a foygl.

L’arbret.

Hi ha un arbret vora el camí, vinclat cap a terra, de l’arbret tots els ocells, volen ben lluny.

Tres al nord, tres a l’orient, d’altres cap al sud, i l’arbret es queda sol, lliurat al mal temps.

I a la mare jo li dic: -“Ara no em turmentis, perquè mare tot d’un cop, un ocell em torno.

Vull pujar damunt l’arbret, i vull bressolar-lo, tot l’hivern i encara més, amb una cançó”.

I la mare diu al fill, mentre els ulls li ploren: -“Ai Déu meu! que et gelaràs, estant damunt l’arbret”

I a la mare jo li dic, als seus ulls preciosos: -“Tan se val que vingui el fred, vull tornar-me ocell”.

Veynt di mame: – ltsik, kroyn, Ze, um gotes viln, Nem zikh mit a shalikl, Kenst zikh nokh farkiln.

Di kaloshn tu zikh on, S’geyt a sharfer vinter Un di kutshme nem oykh mit – Vey iz mir un vind mir…

– Un dos vinter-laybl nem, Tu es on, du shovte, Oyb du vilst nit zayn keyn gast Tsvishn ale toyte…

Kh’heyb di fligl, s’iz mir shver, Tsu fil, tsu fil zakhn, Hot di mame ongeton Ir feygele, dem shvakhn.

Kuk ikh troyerik mir arayn In mayn mames oygn, S’hot ir libshaft nit gelozt Vern mir a foygl…

Oyfn veg shteyt a boym, Shteyt her ayngebogen, Ale feygl funem boym Zaynen zikh tsefloygn…

Itzik Manger

I la mare fent grans plors: -“Pren! Déu meu, Senyor! Pren això, aquest mocador, perquè no et refredis.

Les sabates són aquí, mal hivern arriba, tapa’t amb aquest llençol, no em facis patir.

Pren també l’abric d’hivern, has perdut el cap, potser vols ser un convidat, entre els qui reposen?””

Alça l’ala, tot el pes, massa, massa coses, i la mare ja ha vestit, el petit ocell.

I amb tristesa miro els ulls de la meva mare, son amor no m’ha deixat en ocell tornar-me.

Hi ha un arbret vora el camí, vinclat cap a terra, de l’arbret tots els ocells, volen ben lluny.

Traducció al català: Maurici Farré

Aquest poema-cançó va ser escrit en ídix o jiddisch per l’escriptor jueu Itzik Manger. La llengua idix pròpia de la comunitat asquenazita va sofrir una disminució de parlants en el segle XX d’uns 12 milions a uns 2 milions actuals i es va considerar la seua declaració com a llengua oficial de l’Estat d’Israel. Actualment alguns consideren que està en perill d’extinció almenys la variant occidental. La cantant Lidia Pujol l’ha versionat en català amb una traducció de Maurici Farré.

Fractal 4

Posted on 6 febrer, 20197 febrer, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

Catifa de Menger. Amb geogebra.

Material en geogebratube Catifa de Menger

Inversió

Posted on 18 desembre, 201819 març, 2021 by JOSE PASQUAL SEGURA

Conceptes bàsics.

Donada una circumferència c, dos punts alineats amb el centre $P$ i $P^\prime$ són inversos entre si quan es compleix que $\overline{OP}\cdot \overline{OP'}=r ^2$ .

Per simplificar podem particularitzar a $r=1$ i tenim $\overline{OP}\cdot \overline{OP'}=1$ . Estem llavors en el disc unitat que servirà de model per la geometria hiperbòlica.

La construcció de $P^\prime$ a partir de $P$ és senzilla: semirecta $OP$ , perpendicular por $P$ , punt intersecció $E$ , radi $OE$ , perpendicular a aquest radi ( o tangent en $E$ ) i $P^\prime$ és la intersecció d’aquesta tangent amb la semirecta $OP$ .

La construcció de $P$ a partir de $P^\prime$ també és senzilla: Construïm una semicircumferència amb diàmetre $OP^\prime$ i trobem $E$ com intersecció d’aquesta semicircumferència amb la circumferència c , fent la perpendicular a $OP^\prime$ per $E$ aconseguim $P$ .

* La justificació és a partir de la semblança dels triangles $OEP$ i $OEP^\prime$ . *

En una inversió tenim uns elements invariants. Un punt de la circumferència és el seu propi invers i per tant també la circumferència sencera. Les semirectes amb origen en el centre, la part interior i l’exterior són inverses entre si. També són invariants les circumferències ortogonals a la circumferència donada.

Circumferències ortogonals

La circumferència que passa per dos punts inversos respecte d’una circumferència és invariant (inversa de si mateixa). I I les duess circumferències són ortogonals (es tallen amb un angle angle recte).

Qualsevol circumferència que passe per dos punts $C$ i $C^\prime$ inversos respecte de c és inversa de si mateixa. Es pot veure que si tracem una recta que passe pel centre de c, els dos punts $M$ i $N$ en què interseca amb la circumferència són inversos entre si.

* La justificació es basa en la semblança dels triangles $ACM$ i $AC^\prime N$ . *

Aquesta propietat ens serveix per a justificar que hi ha una circumferència que passa per dues parelles de punts inversos $A$ , $A^\prime$ i $B$ , $B^\prime$ . De totes les circumferències que passen per $A$ i $A^\prime$ escollirem la que passe per $B$ i obligatòriament passarà per $B^\prime$ .

Donada una circumferència c i dos punts inversos $C$ i $C^\prime$ respecte d’aquesta circumferència es pot veure que si tracem qualsevol circumferència que passe $C$ i $C^\prime$ és ortogonal a la circumferència.

* Podem construir una justificació provant que els radis $\overline{AG}$ i $\overline{DG}$ són perpendiculars.*

Inversa d’una recta secant a la circumferència

Són inverses entre si una recta secant respecte de la circumferència donada i una circumferència també secant que passa pel centre i pels dos punts d’intersecció de la recta tangent.

Cada punt $P$ de la recta és invers d’un punt $Q$ de la circumferència i viceversa. En particular el punt $A$ centre de la circumferència és l’invers dels punts en l’infinit de la recta.

* Justificació mitjançant la semblança dels triangles $latexABP$ i $latexBPQ$ *

Açò ens dóna un mètode per obtenir l’invers d’un punt $P$ interior traçant una recta que talla en dos punts a la circumferència i dibuixant la circumferència que passa per eixos dos punts i el centre $A$ de la circumferència obtindrem l’invers $Q$ en la intersecció de la semirecta per $A$ i $P$ .

Un mètode particular per trobar l’invers $P^\prime$ d’un punt $P$ interior serà traçant una perpendicular en $P$ a la semirecta per $P$ amb origen el centre i dibuixant la circumferència pels punts d’intersecció i el centre.

I que també ens serveix per a trobar l’invers si el un punt és exterior construint la circumferència per O centrada en el punt mitjà de $O$ i $P$ , unint els punts d’intersecció obtindríem la recta secant i el punt invers seria la intersecció d’aquesta amb la semirecta.

També podem usar aquesta propietat per a obtenir simultàniament els inversos de dos punts interiors traçant la recta secant que passa per ells i obtenint la circumferència que passa pels punts d’intersecció i el centre.

Ara podríem construir la circumferència que passa per tres dels quatre punts $P$ , $P^\prime$ , $Q$ i $Q^\prime$ i obtindríem una circumferència que passa pel quart punt i és ortogonal a la circumferència fixada.

Açò ens permet obtenir fàcilment el segment hiperbòlic que uneix dos punts en la geometria hiperbòlica del disc de Poincaré.

Inverses d’altres circumferències

Si la circumferència passa pel centre i és interior, la seua inversa és una recta exterior. Si la circumferència no passa pel centre, la inversa és una circumferència que és exterior si la primera és interior, i interseca en els mateixos dos punts si interseca amb la circumferència que defineix la inversió.

Mosaics hiperbòlics derivats.

Posted on 13 desembre, 201828 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

Mosaics duals

Si en un mosaic hiperbòlic regular unim cada centre d’un polígon amb els centres dels polígons adjacents mitjançant un segment, obtenim un altre mosaic anomenat dual. En particular si ho fem en un mosaic {p,q} amb un polígon centrat en el centre de la circumferència obtenim un altre del tipus {q,p} en què els vèrtexs estan en el centre del disc de Poincaré.

Mosaics en els punts mitjans

Igual que en els mosaics euclidians es poden crear mosaics unint els punts mitjans dels segments d’un altre mosaic. A partir d’un regular {p,q} apareix un de semiregular p.q.p.q, format per 4 poligons alternant de p i q costats.

Podem assegurar que són semiregulars perquè els costats són iguals en longituds des del punt de vista de la geometria hiperbòlica, ja que tots uneixen punts mitjans de dos costats contigus, i s’uneixen en cada vèrtex els mateixos polígons i en el mateix ordre. En quants als angles dels polígons també hauran de ser iguals perquè tots els segments que uneixen punts mitjans dels polígons estan en posició idèntica.

Mosaics amb diagonals

Dibuixant certes diagonals amb segments hiperbòlics podem construir altres mosaics que a vegades tindran una regularitat. Podem construir les diagonals unint vèrtexs alterns, sols la meitat de les possibles diagonals.

Sobre mosaics amb polígon centrat hem construït mosaics 4.3.4.3.4.3 , 4.3.4.3.4.3 i un {6,6} sobre un {8,3}, {6,4} i {4,6} respectivament.

Sobre mosaics amb vèrtex centrat hem construït mosaics 4.3.4.3.4.3 , 4.3.4.3.4.3 i un {6,6} sobre un {8,3}, {6,4} i {4,6} respectivament. Són els mateixos que amb polígon centrat però l’aspecte és totalment diferent.

Si dibuixem més diagonals ens trobem amb altres mosaics irregulars. Dos mosaics de rombes sobre un mosaic {4,5} i un {6,5}. I un altre molt irregular sobre un {8,3}

Taula distribució normal

Posted on 8 novembre, 201821 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

Aquesta és una taula de la distribució normal construïda utilitzant $\LaTeX$ .

S’han usat extensions per a calcular els valors com són el paquet fp que ens fa càlculs matemàtics i el paquet multido ens proporciona les repeticions.

Per obtenir cada valor de la integral numèrica s’han sumat les àrees dels rectangles amb altura el punt mitjà de l’interval fins al valor particular.

La composició de la taula ha estat feta amb el paquet pstricks que ens facilita unes coordenades on col·locar els diversos elements.

Feu clic per accedir a taulanormal.pdf

codi font latex
\documentclass[11pt,a4paper]{article}%
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{times}
\usepackage{pstricks,pst-func,multido,pst-infixplot,pst-plot,pst-math, fp}
%
\addtolength{\textwidth}{5cm} \addtolength{\hoffset}{-2.5 cm}
\addtolength{\textheight}{7 cm} \addtolength{\voffset}{-2.75 cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\huge{\textsc{Taula distribució normal}}\hspace{1cm}
\vspace{0.3cm}\psset{yunit=2}\large
\newrgbcolor{gris}{0.9 0.9 0.9}
% gràfica campana Gauss **********************
\begin{pspicture}*(-3,-.2)(3,0.5)
\psaxes[labels=none]{-}(0,0)(-3,-.2)(3,0.5)
\psplot[plotpoints=1000]%
{-3}{3}{x 0 1 GAUSS}
\pscustom[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\psplot[plotpoints=1000]%
{-3}{0.5}{x 0 1 GAUSS}
\psline(0.5,0)}
\put(0.5,-0.3){x}
\end{pspicture}
%*********************************************

\noindent \psset{xunit=0.8,yunit=0.3}
% Taula normal organitzada amb un gràfic *************************
\begin{pspicture}*(0,0)(22,-43)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=7pt](0,0)(22,-40)
% nombre de valors i capçalera taula ***********************
\FPeval\nre{400} \multido{\r=0.00+0.01}{10}{\FPround\rr{\r}{2}
\FPeval\rrr{\rr*200+3} \rput(\rrr,-1){\bf\rr} }
% càlculs amb integral numèrica (suma rectangles) que acumula el valor en \sum *******
\FPeval\sum{0}
\multido{\i=0+1}{\nre} {\FPeval\rx{0.005+\i*0.01} % punt mig de l'interval
\FPeval\ddd{1/((2*pi)^(0.5))*e^((-(\rx)^2)/2)}
\FPeval\valor{(0.5+\sum*0.01)}
\FPtrunc\px{\rx}{2}
\FPeval\sum{\sum+\ddd}
\FPround\dn{\valor}{5}
\FPeval\ii{\i/10}
\FPeval\iii{\i/100}
\FPeval\qq{\i/10}\FPtrunc{\qq}{\qq}{0}
\FPeval\li{\iii*(-10)-1.5}
\FPifint\iii{\psline{-}(0.5,\li)(22,\li)}\else{}\fi % línia cada 10 ************************
\FPtrunc\ii{\ii}{0}
\FPeval\ii{\ii*10} \FPeval\pxx{\px*(-10)-2}\FPtrunc\pxx{\pxx}{0}
\FPifeq{\i}{\ii}{\rput(1,\pxx){\bf\px}}\else{}\fi % primera columna ***********************
\FPeval\iii{(\i-\ii)*2+3}
\FPeval\ww{\qq/2}\FPtrunc\www{\ww}{0} % per alternar amb gris ******************************
% escriu el valor sobre gris o sobre blanc ******************************************
\FPifeq{\ww}{\www}{\rput(\iii,\pxx){\psframebox*[fillcolor=gris]{\dn}}}
\else{\rput(\iii,\pxx){\dn}} \fi } % final del multido
% línies del quadre ************************************************************************
\FPeval\nre{(-1*\nre/10-1.5)}
\psline{-}(0.5,-0.5)(22,-0.5)(22,\nre)(0.5,\nre)(0.5,-0.5)
\psline{-}(1.75,-0.5)(1.75,\nre)
\end{pspicture}

\end{document}

Quatre dragons

Posted on 6 novembre, 201828 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

Amb quatre dragons cadascun girat 90° aconseguim aquesta figura

Fractal 3

Posted on 30 octubre, 20186 novembre, 2018 by JOSE PASQUAL SEGURA

Corba dragó. Amb geogebra.

Material en geogebratube Corba Dragó

Mosaics regulars en general

Posted on 8 octubre, 201827 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

L’angle interior d’un polígon de p costats mesura en radians $\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) \pi$

En un mosaic amb polígons regulars de p costats i en el que concorren q polígons en un vèrtex la suma de tots els angles al voltant d’un vèrtex serà $\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) q \ \pi$ . Parlarem del mosaic {p,q}

Analitzem en un quadre els valors de $\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) q$ amb valors de p i q entre 2 i 8:

$\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) q$	3	4	5	6	7	8
q=2	0,67	1	1,2	1,33	1,43	1,5
3	1	1,5	1,8	2	2,14	2,25
4	1,33	2	2,4	2,67	2,86	3
5	1,67	2,5	3	3,33	3,57	3,75
6	2	3	3,6	4	4,29	4,5
7	2,33	3,5	4,2	4,67	5	5,25
8	2,67	4	4,8	5,33	5,71	6

Ara observem que quan dóna un valor de 2 (color roig) tenim els únics tres mosaics possibles en el pla euclidià, en un vèrtex poden concórrer 3 hexàgons, 4 quadrats o 6 triangles.

Els valors per a p=2 o q=2 (color gris) són estranys i podem ignorar-los per ara.

Tenim valors menors de 2 no inclosos en el cas anterior (color blau) i que podem interpretar com mosaics en pla el·líptic com la superfície d’una esfera en la qual és possible que la suma d’angles al voltant d’un punt siga menor que $\rm \bf 2 \pi$ , i que podem interpretar com els 5 poliedres regulars: {3,3} tetraedre, {3,4} octaedre, {3,5} icosaedre, {4,3} cub i {5,3} dodecaedre. En els següents dibuixos podem veure aquests mosaics i unint els vèrtexs els poliedres en l’interior de l’esfera tenim els poliedres inscrits en l’esfera.