Mosaics duals

Si en un mosaic hiperbòlic regular unim cada centre d’un polígon amb els centres dels polígons adjacents mitjançant un segment, obtenim un altre mosaic anomenat dual. En particular si ho fem en un mosaic {p,q} amb un polígon centrat en el centre de la circumferència obtenim un altre del tipus {q,p} en què els vèrtexs estan en el centre del disc de Poincaré.

Mosaics en els punts mitjans

Igual que en els mosaics euclidians es poden crear mosaics unint els punts mitjans dels segments d’un altre mosaic. A partir d’un regular {p,q} apareix un de semiregular p.q.p.q, format per 4 poligons alternant de p i q costats.

Mosaics amb diagonals

Dibuixant certes diagonals amb segments hiperbòlics podem construir altres mosaics que a vegades tindran una regularitat. Podem construir les diagonals unint vèrtexs alterns, sols la meitat de les possibles diagonals.

Sobre mosaics amb polígon centrat hem construït mosaics 4.3.4.3.4.3 , 4.3.4.3.4.3 i un {6,6} sobre un {8,3}, {6,4} i {4,6} respectivament.

Sobre mosaics amb vèrtex centrat hem construït mosaics 4.3.4.3.4.3 , 4.3.4.3.4.3 i un {6,6} sobre un {8,3}, {6,4} i {4,6} respectivament. Són els mateixos que amb polígon centrat però l’aspecte és totalment diferent.

Si dibuixem més diagonals ens trobem amb altres mosaics irregulars. Dos mosaics de rombes sobre un mosaic {4,5} i un {6,5}. I un altre molt irregular sobre un {8,3}

Amb mosaics regulars, els seus duals i algunes diagonals es poden analitzar els quatre gravats de la sèrie “cercle infinit”. Segurament no es van fer seguint la numeració que

Circle I

En Circle I ha usat el mosaic {6,4} (en taronja) que és dels més fàcils de dibuixar amb regla i compàs amb els seus duals {4,6} (en blau).  Realment va dibuixar tots els triangles (millor dit molts dels triangles) que deriven del triangle bàsic inicial i s’obtenen unint el centre de cada polígon amb els punts mitjans dels costats i amb els vèrtexs del polígon.

Ací veiem el mosaic {6,4} com se sol dibuixar amb el desenvolupament de tots triangles. Dibuixat un triangle del polígon central podem obtenir els altres mitjançant reflexions (inversions) i girs, primer obtenim el polígon central i després mitjançant reflexions sobre els costats anem obtenint la resta del mosaic.

Circle II

En Circle II amb el mosaic regular {8,3} (verd) i el seu dual {3,8} (blau) podem analitzar el dibuix. La punta de la creu que ix d’un costat entra per l’adjacent compensant l’àrea que llevem per la que afegim. Escher acoloreix amb tres colors perquè 3 octògons s’ajunten en un vèrtex i pot alternar perfectament.

Però si analitzem amb més deteniment i dibuixem algunes diagonals de manera que unim els vèrtexs 1 amb el 6, el 2 amb el 5, el 3 amb el 8, i el 4 amb el 7, numerant des de la part positiva de l’eix OX, coincideix perfectament amb les línies utilitzades per construir les creus. La superposició perfecta en el mosaic ens fa pensar que Escher tenia algun mètode per construir els segments hiperbòlics de manera eficaç.

Circle III

Aquest és un dels més admirats per la dificultat de la construcció i l’alternança de colors. Afegir el dual al dibuix pareix que no ajuda a l’anàlisi. Una possible interpretació és que dibuixant les diagonals dels vèrtexs imparells aconseguim un mosaic semiregular (4,3,4,3,4,3). Les aletes dorsals estan sobre els segments d’aquest mosaic de manera que un peix queda dividit en dos, en els quadrats hi ha quatre mitjos peixos i en els triangles 3 mitjos. En els centres dels quadrats s’ajunten 4 aletes de dos colors i en els centres del triangle 3 aletes de diferent color. En els vèrtexs del mosaic semiregular coincideixen 3 boques i tres cues de tres colors fent la impressió que els del mateix color van seguint-se.

Si observem el mosaic semiregular, veurem que les diagonals que el formen no componen arcs majors amb el mateix centre si no que cadascun formaria part d’una circumferència amb un centre diferent i són segments hiperbòlics. Les línies blanques de les aletes dorsals si que estan dibuixades amb dos arcs que s’aproximen al mosaic, però que no són segments hiperbòlics, S’anomenen horocicles i no són perpendiculars al cercle unitat.

Circle IV

En aquest torna a usar el mosaic {6,4} però a diferència de Circle I usa dos motius, un àngel i un dimoni. Ha girat 30° el mosaic de la posició més comuna. En ajuntar-se el mosaic i el seu dual formen un mosaic irregular de rectangles i en cadascun d’ells hi ha mig dimoni i mig àngel.

Entre finals de la dècada de 1950 i principi de la següent M. C. Escher realitza quatre gravats, dos en tinta negra i dos en diversos colors.

 

Amb el polígon inicial centrat en (1,0): tipus {8,3} i {5,4}

Traslladats: tipus {8,3} i {5,6}

Alguns mosaics que podem construir amb Geogebra

Amb un polígon centrat: són del tipus {8,3}, {5,4}, {3,8} i  {4,12}

El primer està format per octògons regulars en el pla hiperbòlic definit en un cercle unitat. En cada vèrtex s’ajunten 3 octògons.

Amb un vèrtex centrat: són del tipus {4,5} i  {5,6}

El primer està format per quadrats i en cada vèrtex conflueixen 5 polígons. Un vèrtex està col·locat en el centre del cercle.

O també descentrats: tipus {5,4}