Mosaics – L'arbre mut

Mosaics regulars patològics

Posted on 11 abril, 201929 setembre, 2020 by JOSE PASQUAL SEGURA

En analitzar els mosaics en general apareixien dos casos estranys, un quan el nombre de costats és dos i l’altre quan el nombre de polígons que convergeixen en un vèrtex és dos.

Abans de menysprear-los intentarem veure com podrien ser i en quin tipus de geometria. Només hi ha polígons de dos costats en la superfície de l’esfera i per poder ajuntar dos polígons ha de ser en una superfície finita com l’esfera.

Ací hem representat els mosaics {8,2} amb dos octògons i el {2,8} format per 8 polígons de dos costats.

Tots els mosaics {p,2} seran realment el mateix, un cercle màxim que és a la vegada dos polígons regulars de qualsevol nombre de costats.

Els mosaics {2,q} seran els formats per un nombre q de semicercles màxims que conflueixen tots en dos punts diametralment oposats de l’esfera.

Inversió

Posted on 18 desembre, 201819 març, 2021 by JOSE PASQUAL SEGURA

Conceptes bàsics.

Donada una circumferència c, dos punts alineats amb el centre $P$ i $P^\prime$ són inversos entre si quan es compleix que $\overline{OP}\cdot \overline{OP'}=r ^2$ .

Per simplificar podem particularitzar a $r=1$ i tenim $\overline{OP}\cdot \overline{OP'}=1$ . Estem llavors en el disc unitat que servirà de model per la geometria hiperbòlica.

La construcció de $P^\prime$ a partir de $P$ és senzilla: semirecta $OP$ , perpendicular por $P$ , punt intersecció $E$ , radi $OE$ , perpendicular a aquest radi ( o tangent en $E$ ) i $P^\prime$ és la intersecció d’aquesta tangent amb la semirecta $OP$ .

La construcció de $P$ a partir de $P^\prime$ també és senzilla: Construïm una semicircumferència amb diàmetre $OP^\prime$ i trobem $E$ com intersecció d’aquesta semicircumferència amb la circumferència c , fent la perpendicular a $OP^\prime$ per $E$ aconseguim $P$ .

* La justificació és a partir de la semblança dels triangles $OEP$ i $OEP^\prime$ . *

En una inversió tenim uns elements invariants. Un punt de la circumferència és el seu propi invers i per tant també la circumferència sencera. Les semirectes amb origen en el centre, la part interior i l’exterior són inverses entre si. També són invariants les circumferències ortogonals a la circumferència donada.

Circumferències ortogonals

La circumferència que passa per dos punts inversos respecte d’una circumferència és invariant (inversa de si mateixa). I I les duess circumferències són ortogonals (es tallen amb un angle angle recte).

Qualsevol circumferència que passe per dos punts $C$ i $C^\prime$ inversos respecte de c és inversa de si mateixa. Es pot veure que si tracem una recta que passe pel centre de c, els dos punts $M$ i $N$ en què interseca amb la circumferència són inversos entre si.

* La justificació es basa en la semblança dels triangles $ACM$ i $AC^\prime N$ . *

Aquesta propietat ens serveix per a justificar que hi ha una circumferència que passa per dues parelles de punts inversos $A$ , $A^\prime$ i $B$ , $B^\prime$ . De totes les circumferències que passen per $A$ i $A^\prime$ escollirem la que passe per $B$ i obligatòriament passarà per $B^\prime$ .

Donada una circumferència c i dos punts inversos $C$ i $C^\prime$ respecte d’aquesta circumferència es pot veure que si tracem qualsevol circumferència que passe $C$ i $C^\prime$ és ortogonal a la circumferència.

* Podem construir una justificació provant que els radis $\overline{AG}$ i $\overline{DG}$ són perpendiculars.*

Inversa d’una recta secant a la circumferència

Són inverses entre si una recta secant respecte de la circumferència donada i una circumferència també secant que passa pel centre i pels dos punts d’intersecció de la recta tangent.

Cada punt $P$ de la recta és invers d’un punt $Q$ de la circumferència i viceversa. En particular el punt $A$ centre de la circumferència és l’invers dels punts en l’infinit de la recta.

* Justificació mitjançant la semblança dels triangles $latexABP$ i $latexBPQ$ *

Açò ens dóna un mètode per obtenir l’invers d’un punt $P$ interior traçant una recta que talla en dos punts a la circumferència i dibuixant la circumferència que passa per eixos dos punts i el centre $A$ de la circumferència obtindrem l’invers $Q$ en la intersecció de la semirecta per $A$ i $P$ .

Un mètode particular per trobar l’invers $P^\prime$ d’un punt $P$ interior serà traçant una perpendicular en $P$ a la semirecta per $P$ amb origen el centre i dibuixant la circumferència pels punts d’intersecció i el centre.

I que també ens serveix per a trobar l’invers si el un punt és exterior construint la circumferència per O centrada en el punt mitjà de $O$ i $P$ , unint els punts d’intersecció obtindríem la recta secant i el punt invers seria la intersecció d’aquesta amb la semirecta.

També podem usar aquesta propietat per a obtenir simultàniament els inversos de dos punts interiors traçant la recta secant que passa per ells i obtenint la circumferència que passa pels punts d’intersecció i el centre.

Ara podríem construir la circumferència que passa per tres dels quatre punts $P$ , $P^\prime$ , $Q$ i $Q^\prime$ i obtindríem una circumferència que passa pel quart punt i és ortogonal a la circumferència fixada.

Açò ens permet obtenir fàcilment el segment hiperbòlic que uneix dos punts en la geometria hiperbòlica del disc de Poincaré.

Inverses d’altres circumferències

Si la circumferència passa pel centre i és interior, la seua inversa és una recta exterior. Si la circumferència no passa pel centre, la inversa és una circumferència que és exterior si la primera és interior, i interseca en els mateixos dos punts si interseca amb la circumferència que defineix la inversió.

Mosaics hiperbòlics derivats.

Posted on 13 desembre, 201828 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

Mosaics duals

Si en un mosaic hiperbòlic regular unim cada centre d’un polígon amb els centres dels polígons adjacents mitjançant un segment, obtenim un altre mosaic anomenat dual. En particular si ho fem en un mosaic {p,q} amb un polígon centrat en el centre de la circumferència obtenim un altre del tipus {q,p} en què els vèrtexs estan en el centre del disc de Poincaré.

Mosaics en els punts mitjans

Igual que en els mosaics euclidians es poden crear mosaics unint els punts mitjans dels segments d’un altre mosaic. A partir d’un regular {p,q} apareix un de semiregular p.q.p.q, format per 4 poligons alternant de p i q costats.

Podem assegurar que són semiregulars perquè els costats són iguals en longituds des del punt de vista de la geometria hiperbòlica, ja que tots uneixen punts mitjans de dos costats contigus, i s’uneixen en cada vèrtex els mateixos polígons i en el mateix ordre. En quants als angles dels polígons també hauran de ser iguals perquè tots els segments que uneixen punts mitjans dels polígons estan en posició idèntica.

Mosaics amb diagonals

Dibuixant certes diagonals amb segments hiperbòlics podem construir altres mosaics que a vegades tindran una regularitat. Podem construir les diagonals unint vèrtexs alterns, sols la meitat de les possibles diagonals.

Sobre mosaics amb polígon centrat hem construït mosaics 4.3.4.3.4.3 , 4.3.4.3.4.3 i un {6,6} sobre un {8,3}, {6,4} i {4,6} respectivament.

Sobre mosaics amb vèrtex centrat hem construït mosaics 4.3.4.3.4.3 , 4.3.4.3.4.3 i un {6,6} sobre un {8,3}, {6,4} i {4,6} respectivament. Són els mateixos que amb polígon centrat però l’aspecte és totalment diferent.

Si dibuixem més diagonals ens trobem amb altres mosaics irregulars. Dos mosaics de rombes sobre un mosaic {4,5} i un {6,5}. I un altre molt irregular sobre un {8,3}

Mosaics regulars en general

Posted on 8 octubre, 201827 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

L’angle interior d’un polígon de p costats mesura en radians $\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) \pi$

En un mosaic amb polígons regulars de p costats i en el que concorren q polígons en un vèrtex la suma de tots els angles al voltant d’un vèrtex serà $\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) q \ \pi$ . Parlarem del mosaic {p,q}

Analitzem en un quadre els valors de $\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) q$ amb valors de p i q entre 2 i 8:

$\rm \bf \left ( \frac{p-2}{p} \right ) q$	3	4	5	6	7	8
q=2	0,67	1	1,2	1,33	1,43	1,5
3	1	1,5	1,8	2	2,14	2,25
4	1,33	2	2,4	2,67	2,86	3
5	1,67	2,5	3	3,33	3,57	3,75
6	2	3	3,6	4	4,29	4,5
7	2,33	3,5	4,2	4,67	5	5,25
8	2,67	4	4,8	5,33	5,71	6

Ara observem que quan dóna un valor de 2 (color roig) tenim els únics tres mosaics possibles en el pla euclidià, en un vèrtex poden concórrer 3 hexàgons, 4 quadrats o 6 triangles.

Els valors per a p=2 o q=2 (color gris) són estranys i podem ignorar-los per ara.

Tenim valors menors de 2 no inclosos en el cas anterior (color blau) i que podem interpretar com mosaics en pla el·líptic com la superfície d’una esfera en la qual és possible que la suma d’angles al voltant d’un punt siga menor que $\rm \bf 2 \pi$ , i que podem interpretar com els 5 poliedres regulars: {3,3} tetraedre, {3,4} octaedre, {3,5} icosaedre, {4,3} cub i {5,3} dodecaedre. En els següents dibuixos podem veure aquests mosaics i unint els vèrtexs els poliedres en l’interior de l’esfera tenim els poliedres inscrits en l’esfera.

La resta de valors majors de 2 seran tots els mosaics regulars en el pla hiperbòlic.

Anàlisi de Cercles Infinits de M. C. Escher

Posted on 25 juny, 201828 març, 2019 by JOSE PASQUAL SEGURA

Amb mosaics regulars, els seus duals i algunes diagonals es poden analitzar els quatre gravats de la sèrie “cercle infinit”. Segurament no es van fer seguint la numeració que

Circle I

En Circle I ha usat el mosaic {6,4} (en taronja) que és dels més fàcils de dibuixar amb regla i compàs amb els seus duals {4,6} (en blau). Realment va dibuixar tots els triangles (millor dit molts dels triangles) que deriven del triangle bàsic inicial i s’obtenen unint el centre de cada polígon amb els punts mitjans dels costats i amb els vèrtexs del polígon.

Ací veiem el mosaic {6,4} com se sol dibuixar amb el desenvolupament de tots triangles. Dibuixat un triangle del polígon central podem obtenir els altres mitjançant reflexions (inversions) i girs, primer obtenim el polígon central i després mitjançant reflexions sobre els costats anem obtenint la resta del mosaic.

Circle II

En Circle II amb el mosaic regular {8,3} (verd) i el seu dual {3,8} (blau) podem analitzar el dibuix. La punta de la creu que ix d’un costat entra per l’adjacent compensant l’àrea que llevem per la que afegim. Escher acoloreix amb tres colors perquè 3 octògons s’ajunten en un vèrtex i pot alternar perfectament.

Però si analitzem amb més deteniment i dibuixem algunes diagonals de manera que unim els vèrtexs 1 amb el 6, el 2 amb el 5, el 3 amb el 8, i el 4 amb el 7, numerant des de la part positiva de l’eix OX, coincideix perfectament amb les línies utilitzades per construir les creus. La superposició perfecta en el mosaic ens fa pensar que Escher tenia algun mètode per construir els segments hiperbòlics de manera eficaç.

Circle III

Aquest és un dels més admirats per la dificultat de la construcció i l’alternança de colors. Afegir el dual al dibuix pareix que no ajuda a l’anàlisi. Una possible interpretació és que dibuixant les diagonals dels vèrtexs imparells aconseguim un mosaic semiregular (4,3,4,3,4,3). Les aletes dorsals estan sobre els segments d’aquest mosaic de manera que un peix queda dividit en dos, en els quadrats hi ha quatre mitjos peixos i en els triangles 3 mitjos. En els centres dels quadrats s’ajunten 4 aletes de dos colors i en els centres del triangle 3 aletes de diferent color. En els vèrtexs del mosaic semiregular coincideixen 3 boques i tres cues de tres colors fent la impressió que els del mateix color van seguint-se.

Si observem el mosaic semiregular, veurem que les diagonals que el formen no componen arcs majors amb el mateix centre si no que cadascun formaria part d’una circumferència amb un centre diferent i són segments hiperbòlics. Les línies blanques de les aletes dorsals si que estan dibuixades amb dos arcs que s’aproximen al mosaic, però que no són segments hiperbòlics, S’anomenen horocicles i no són perpendiculars al cercle unitat.

Circle IV

En aquest torna a usar el mosaic {6,4} però a diferència de Circle I usa dos motius, un àngel i un dimoni. Ha girat 30° el mosaic de la posició més comuna. En ajuntar-se el mosaic i el seu dual formen un mosaic irregular de rectangles i en cadascun d’ells hi ha mig dimoni i mig àngel.